点关于直线对称的性质（高中函数对称性公式大总结）

夏星 • 2023年5月1日 19:31:54 • 思投稿

上一篇我们讲述了线段旋转90°后点的坐标怎么求，旋转学会了，那对称呢？如果只利用初中知识，你能求出点关于直线的对称点的坐标吗？

问题：求点A(3,0)关于直线y=2x的对称点B的坐标.

首先我们要在平面直角坐标系中画出直线y=2x的图形，描出点A，然后作出点A的对称点B

显然直接由图形看出B点坐标不太可能，事实上添加网格后我们可以看出，点B的横坐标和纵坐标都不是整数。

思路

我们首先能想到两条基本思路：

①同上篇初中数学：线段旋转90°后点的坐标怎么求？把求点的坐标转化为求线段长，利用数形结合思想；

②如果直接求线段长有难度，不妨先把B点坐标设出来，两个未知数只要能找到两个方程就可以解出来，此处利用了方程组的思想，列方程需要等量关系，等量关系又要从图形关系上找，也要用到数形结合思想。

解答

如图，设AB与直线y=2x的交于点D，分别过B、D作x轴的垂线，分别交x轴于点C、E。

按照思路①，如果能求出BC和OC长度，就可以得到B点坐标，但已知点坐标只有点A，此路不通。

换思路②，设B(a,b).

列方程我们可以把B点坐标当已知点来用，现在知道了A和B两个点的坐标，只需找到两个等量关系。

等量关系一：AB中点D在直线y=2x上

由中点坐标公式，可得 D((3+a)/2,b/2)，代入y=2x

得 b/2=a+3 ……方程①

等量关系二：tanB=tan∠DOE

易证△AOD∽△ABC，

∴∠B=∠DOE

∴tanB=tan∠DOE=2

∵AC=3-a，BC=b

∴3-a=2b ……方程②

联立方程①②，可得 a=-9/5，b=12/5

∴B(-9/5,12/5)

小结

1、点的坐标与线段可相互转化

已知点的坐标可求出相应线段长度，已知线段长度也可得出对应点的坐标。

2、方程与函数思想的运用

设出未知点的坐标，列方程组求解也是一种惯用的方法，另外在某些题中还会构造函数来求最值。

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